[زائر (112.0.*.*)]إجابات [الصينية ] | وقت :2022-10-22 | إثبات معادلة لابلاس في المعلمات الأسطوانية: laplacien en coordoonnee cylindrique
معادلة لابلاس في نظام إحداثي أسطواني
معادلة لابلاس ∇2u(r)=0(1) يشار إلى عامل لابلاس ذو الإحداثيات الأسطوانية على النحو التالي: 1r∂∂r(r∂u∂r) 1r2∂2u∂θ2 ∂2u∂z2=0(2)
باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، يمكن الإشارة إلى حلها العام على النحو التالي: f(r)=∑l,m[AlJl(kr) BlYl(kr)]eimθ(Clelz Cle−lz)(3) حيث Al، Bl، Cl، و Dl هي الثوابت المعلقة مع ثلاث درجات فقط من الحرية فيما بينها.
بعد أن يفصل لابلاس المتغيرات في إحداثيات العمود، تكون المعادلة الشعاعية هي معادلة بيزييه (المعادلة 1) xddx(xdydx) (x2−m2)y=0(4) حيث x = lr.
1. الاشتقاق
دع u(r)=R(r)Φ(θ)Z(z)
، بالاستعاضة عنها في المعادلة 1rR∂∂r(r∂R∂r) 1r2Φ∂2Φ∂θ2 1Z∂2Z∂z2=0(5) المصطلحان الأولان هما مجرد دوال r و θ ، والمصطلح الثالث هو مجرد دالة z ، لذلك هما ثوابت ، على التوالي. سبب 1Z∂2Z∂z2=l2(6) ثم أول عنصرين هما 1rR∂∂r(r∂R∂r) 1r2Φ∂2Φ∂θ2=−l2(7) لمواصلة فصل r و θ عن طريق ضرب كلا الجانبين في r2 ، فإن الحد الثاني على اليسار هو مجرد دالة حول θ والباقي هو مجرد دالة حول r. سبب 1Φd2Φdθ2=−m2(8) ثم الباقي هو M2 ، أي rddr(rdRdr) (l2r2−m2)R=0(9)
دع x = lr ، y(x)=R(r)
حكم xddx(xdydx) (x2−m2)y=0(10) عند هذه النقطة، تم فصل المتغيرات الثلاثة تماما، والمعادلات التفاضلية الخاصة بها هي المعادلة 6، المعادلة 8، المعادلة 9.
Z (z) الحل العام ل C1elz C2e−lz ، والحل العام ل Φ (θ) هو eimθ. لا يمكن تمثيل حل المعادلة 9 بدالة أولية محدودة، المعادلة 10 هي الشكل القياسي لمعادلة بيزييه، والحلان المستقلان خطيا هما دالة بيزييه Jl(x)، Yl(x)
.
لاحظ أن الترتيب m للدالة Bezier هي معلمة للمعادلة الزاوية (d2Φ/dθ2)/Φ=−m2، وليست معلمة للمعادلة الشعاعية l. المعلمة l موجودة في المتغير المستقل x. |
|