لغة :
SWEWE عضو :دخول |تسجيل
بحث
المجتمع الموسوعة |الموسوعة أجوبة |إرسال السؤال |المعرفة المفردات |تحميل المعرفة
الأسئلة :اثبات معادلة لابلاس في المعلم الاسطواني laplacien en coordoonnee cylindrique
زائر (41.105.*.*)
فئة :[علم][آخر]
لا بد لي من الإجابة [زائر (54.157.*.*) | دخول ]

صور :
نوع :[|jpg|gif|jpeg|png|] بايت :[<2000KB]
لغة :
| التحقق من رمز و :
كل إجابات [ 1 ]
[زائر (112.0.*.*)]إجابات [الصينية ]وقت :2022-10-22
إثبات معادلة لابلاس في المعلمات الأسطوانية: laplacien en coordoonnee cylindrique

معادلة لابلاس في نظام إحداثي أسطواني

معادلة لابلاس
∇2u(r)=0(1)
يشار إلى عامل لابلاس ذو الإحداثيات الأسطوانية على النحو التالي:
1r∂∂r(r∂u∂r) 1r2∂2u∂θ2 ∂2u∂z2=0(2)

باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، يمكن الإشارة إلى حلها العام على النحو التالي:
f(r)=∑l,m[AlJl(kr) BlYl(kr)]eimθ(Clelz Cle−lz)(3)
حيث Al، Bl، Cl، و Dl هي الثوابت المعلقة مع ثلاث درجات فقط من الحرية فيما بينها.

بعد أن يفصل لابلاس المتغيرات في إحداثيات العمود، تكون المعادلة الشعاعية هي معادلة بيزييه (المعادلة 1)
xddx(xdydx) (x2−m2)y=0(4)
حيث x = lr.

1. الاشتقاق

دع u(r)=R(r)Φ(θ)Z(z)

، بالاستعاضة عنها في المعادلة
1rR∂∂r(r∂R∂r) 1r2Φ∂2Φ∂θ2 1Z∂2Z∂z2=0(5)
المصطلحان الأولان هما مجرد دوال r و θ ، والمصطلح الثالث هو مجرد دالة z ، لذلك هما ثوابت ، على التوالي. سبب
1Z∂2Z∂z2=l2(6)
ثم أول عنصرين هما
1rR∂∂r(r∂R∂r) 1r2Φ∂2Φ∂θ2=−l2(7)
لمواصلة فصل r و θ عن طريق ضرب كلا الجانبين في r2 ، فإن الحد الثاني على اليسار هو مجرد دالة حول θ والباقي هو مجرد دالة حول r. سبب
1Φd2Φdθ2=−m2(8)
ثم الباقي هو M2 ، أي
rddr(rdRdr) (l2r2−m2)R=0(9)

دع x = lr
، y(x)=R(r)

حكم
xddx(xdydx) (x2−m2)y=0(10)
عند هذه النقطة، تم فصل المتغيرات الثلاثة تماما، والمعادلات التفاضلية الخاصة بها هي المعادلة 6، المعادلة 8، المعادلة 9.

Z (z)
الحل العام ل C1elz C2e−lz ، والحل العام ل Φ (θ) هو eimθ. لا يمكن تمثيل حل المعادلة 9 بدالة أولية محدودة، المعادلة 10 هي الشكل القياسي لمعادلة بيزييه، والحلان المستقلان خطيا هما دالة بيزييه Jl(x)، Yl(x)



لاحظ أن الترتيب m للدالة Bezier
هي معلمة للمعادلة الزاوية (d2Φ/dθ2)/Φ=−m2، وليست معلمة للمعادلة الشعاعية l. المعلمة l موجودة في المتغير المستقل x.
بحث

版权申明 | 隐私权政策 | حق النشر @2018 العالم المعرفة الموسوعية